統計力学 (加藤)

1. (ミクロカノニカル) N 個の独立した原子がある。 i 番目の原子のエネルギー ε_{i} は、 0 または ε の二つのエネルギー状態を持つ。この物理系を、ミクロカノニカルの手法で扱ってみよう。

(1) 全エネルギーが E = Mε となるとき、エントロピー S を M の関数として求めよ。

(2) エントロピーをエネルギー E の関数に書き直し、温度の関係（授業ノートを見よ！）を使って温度 T を導入し、エネルギー E を温度の関数として表せ。

(3) 比熱 C = dE/dT を求めよ。

2. (カノニカル) ある原子は、 −ε, 0, ε の 3 つのエネルギー状態をとる。この原子が温度 T の熱欲の中にあるとき、カノニカルの手法をつかって、この原子を扱ってみよう。

(1) 原子がエネルギー −ε の状態にある確率 p を求めよ。また温度 T が 0 および ∞ のときの p の値はどうなるか。

(2) 分配関数 Z および自由エネルギー F を計算せよ。

(3) 平均のエネルギー Ē および比熱 C を求めよ。

(4) エントロピー S を求めよ。また温度 0 ではエントロピーはどうなるか。

以下は、授業ですでに扱った問題である。ノートをよく参照しながら各自まとめておくように。

3. (カノニカル) 一個の原子の振動が、ばねのモデルで表されるとする。これを調和振動子のモデルという。この振動子のエネルギー状態は

E = h̄ω (n + \frac{1}{2})

で表される (n は整数)。一個の原子に関する分配関数 Z をかけ。さらに自由エネルギー F 、平均のエネルギー Ē、比熱 C、エントロピー S を求めよ。

4. (カノニカル) N 個の気体分子が一辺が L の立方体の容器の中に入れられている。気体分子の持つエネルギーは、

ε = \frac{h̄^{2}π^{2}}{2mL^{2}} (n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2})

である。 (n_{x}, n_{y}, n_{z} は 1 以上の整数) これをつかって気体の分配関数を求めよ。さらに自由エネルギー F を求め、平均のエネルギー E、比熱 C、エントロピー S を求めよ。

5. (グランドカノニカル) 全体のエネルギー状態が ε = ε_{i} で与えられる (i は 1 以上の整数)。ここにフェルミ粒子をつめていくことを考える。エネルギー状態 ε_{i} に入っている粒子の個数を n_{i} とするとフェルミ粒子に対しては、 n_{i} = 0 か n_{i} = 1 のどちらかである。大分配関数を計算し、全粒子数 N および全エネルギー E を化学ポテンシャル μ の関数として求めよ。

テストでは、以上の問題からの類題を出すことにします。よって以上の問題の解答は配りません、といっていましたが、略解だけはホームページに載せることにしました。そのかわり、本番は持ち込みなしでも、大丈夫ですね？

授業ノートやレポート問題の解答は

http://www.a-phys.eng.osaka-cu.ac.jp/kato/stat/index.html

を参考にすれば、必ず解けます。頑張ってください。