統計力学 (加藤) レポート No.3

1. 物体のとりうる状態をそれぞれ i = 1, 2, 3, 4, ⋯ と番号づけし、状態 i となる確率を P_{i} とする。

(1) ∑_{i=1}^{∞} P_{i} = 1 が成り立つ。この意味を簡単に述べよ。

(2) 状態 i に応じて、物理量 A がきまっているとする。つまり、状態 i に応じて A = A_{i} ととれるとする。このとき A を確率変数という。物理量 A の期待値 (平均値) を E(A) とかく。つまり

E(A) = ∑_{i=1}^{∞} A_{i}P_{i}

と定義する。以下の性質を証明せよ。 (A, B は確率変数、 c は定数)

E(A + B) = E(A) + E(B)
E(cA) = cE(A)

(3) A の期待値 E(A) を Ā と書くことにする。 Ā からのずれの二乗の期待値 E((A − Ā)^{2}) を考える。これは、期待値から平均しておよそどれだけずれているかを表す量である。公式、

E((A − Ā)^{2}) = E(A^{2}) − (E(A))^{2}

を証明せよ。ヒント：統計学の基本的な公式です。 (2) の結果をうまく使ってください。 Ā は定数であることに注意。また、 E(A^{2}) は A^{2} の期待値で、式にすると、

E(A^{2}) = ∑_{i=1}^{∞} A_{i}^{2}P_{i}

2. 授業についての率直な感想を、簡単でよいので書いてください。 (お知らせ)

1. 今後、質問がある人は、個人的に私にメールを書いてください。アドレスは、

kato@a-phys.eng.osaka-cu.ac.jp

です。その質問に対する回答は、今回のように公開していく予定です。

2. 皆さんから寄せられた感想を、私のホームページに掲載いたしました。もちろん名前などは伏せており、問題はないと判断して掲載していますが、もしご意見がありましたら、お寄せください。今後、続けるかどうかは、未定です。

3. 私のホームページに、過去のレポート問題が、 PDF ファイルでおいてあります。 Acrobat Reader があるコンピュータで簡単にダウンロードできます。

http://www.a-phys.eng.osaka-cu.ac.jp/kato/index.html

4. レポートに書かれる感想は、レポートの評価点に何の関係もありません。率直に書いてください。