統計力学の練習問題略答

問 1. (1)

S = k_{B}(N log N −M log M −(N −M) log(N −M))

(2) \frac{∂S}{∂E} = 1/T を計算し、エネルギーについて解き直すと、

E = \frac{Nε}{1 + e^{ε/k_{B}T}}

となる。（授業中の答えに書いた答えは間違えていました。申し訳ない。 )

(3) (2) の答えを温度で微分して、

C = \frac{dE}{dT} = \frac{Nε^{2}}{k_{B}T^{2}} \frac{e^{ε/k_{B}T}}{(1 + e^{ε/k_{B}T})^{2}}

問 2. (1)

p = \frac{e^{βε}}{1 + e^{βε} + e^{−βε}}

T → 0, (β → ∞) のとき p → 1。また T → ∞, (β → 0) のとき p = 1/3。

(2)

Z = 1 + e^{−βε} + e^{βε}
F = −\frac{1}{β} log(1 + e^{−βε} + e^{βε})

(3)

Ē = −\frac{∂}{∂β} (log Z) = \frac{ε(e^{−βε} − e^{βε})}{1 + e^{−βε} + e^{βε}}
C = \frac{∂Ē}{∂T}
= \frac{ε^{2}}{k_{B}T^{2}} \frac{e^{βε} + e^{−βε} + 4}{(1 + e^{βε} + e^{−βε})^{2}}

比熱 C の計算はなかなかやっかいで難しい。

問 3. 問題文に間違いがありました。 n は 0 以上の整数です。 0 も勘定にいれてください。本当に申し訳ない。

Z = \frac{e^{−βh̄ω/2}}{1 − e^{−βh̄ω}}
F = \frac{h̄ω}{2} + \frac{1}{β} log(1 − e^{−βh̄ω})

Ē = −\frac{∂}{∂β} (log Z)
= \frac{h̄ω}{2} + \frac{h̄ω}{e^{βh̄ω} − 1}
C = \frac{dĒ}{dT} = \frac{(h̄ω)^{2}}{k_{B}T^{2}} \frac{e^{βh̄ω}}{(e^{βh̄ω} − 1)^{2}}
S = −\frac{∂F}{∂T}
= −k_{B} log(1 − e^{−βh̄ω}) + \frac{h̄ω}{T} \frac{1}{e^{βh̄ω} − 1}

最後のエントロピーの計算は、ちょっと複雑ですが、なんとかできるようにしておいてもらいたい。なお、エントロピーは F = E − T S を使って、エネルギーと自由エネルギーから逆算できます。

問 4. 授業で説明したように、波数が k_{x} = πn_{x}/L で与えられていて、 L が非常に大きければ、

\frac{L}{π} ∑_{n_{x}=1}^{∞}(⋯) ⟶ ∫_{0}^{∞} dk_{x}(⋯)

のような、和から積分への書き換えができる。 (これは公式としていつでも使って構いません。 ) これを使えば、一個の気体分子についての分配関数は、

Z = ∑_{n_{x}=1}^{∞} ∑_{n_{y}=1}^{∞} ∑_{n_{z}=1}^{∞} e^{−βε}
≃ (\frac{L}{π})^{3} ∫_{0}^{∞} dk_{x} ∫_{0}^{∞} dk_{y} ∫_{0}^{∞} dk_{z}e^{− \frac{β}{2m} (k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})}
= \frac{1}{8} (\frac{L}{π}\sqrt{\frac{2πm}{β}})^{3} = (\frac{k_{B}T mL^{2}}{2π} )^{3/2}
F = −\frac{3}{2}k_{B}T log (\frac{L}{2π} \sqrt{\frac{mk_{B}T L^{2}}{2π}} )
Ē = −\frac{∂}{∂β} (log Z) = \frac{3}{2}k_{B}T
C = \frac{3}{2}k_{B}
S = −\frac{∂F}{∂T}
= \frac{3}{2}k_{B} (\frac{k_{B}T mL^{2}}{2π} )^{3/2} + \frac{3k_{B}}{2}

気体の濃度が小さければ、分子 N 個の時は、上で求めた自由エネルギー F, 平均のエネルギー Ē, エントロピー S をすべて N 倍すればいい。

問 5. やや難しい問いでした。大分配関数を Ξ として、

Ξ = ∑_{n_{1}=0}^{1} ∑_{n_{2}=0}^{1} ⋯ ∑_{n_{i}=0}^{1} ⋯ exp (−β (∑_{i=1}^{∞} ε_{i}n_{i} − μ ∑_{i=1}^{∞} n_{i}))
= ∏_{i=1}^{∞} (1 + e^{−β(ε_{i}−μ)})

これをつかって、熱力学ポテンシャル J は

J = −\frac{1}{β} log Ξ
= −\frac{1}{β} ∑_{i=1}^{∞} log (1 + e^{−β(ε_{i}−μ)})
N̄ = −\frac{∂J}{∂μ} = ∑_{i=1}^{∞} \frac{1}{e^{β(ε_{i}−μ)} + 1}

最後の表式から、エネルギー状態 ε_{i} にある平均の粒子数 n̄_{i} は、

n̄_{i} = \frac{1}{e^{β(ε−μ)} + 1}

と推測される。 (気になる人は実際にちゃんと確かめることもできる。長岡の教科書を参照のこと。 ) これをフェルミ分布関数という。よく覚えておくように！これを使って、全エネルギーの平均は、

Ē = ∑_{i=1}^{∞} n̄_{i}ε_{i} = ∑_{i=1}^{∞} \frac{ε_{i}}{e^{β(ε_{i}−μ)} + 1}

(その他のアドバイス) 授業で状態密度 D(E) を定義しましたが、具体的な計算はやっていませんでした。将来、物理を続ける人 (応用物理学科の人) は、 3 次元の自由粒子の D(E) を求める練習はしておいたほうがいいです。長岡の教科書の 37 ページの Ω(E) を E で微分したのが D(E) になります。 (計算の仕方は、他の教科書にものっているはずです。 )

なお、略解に関する問い合わせは、受け付けません。 (基本的に自分で勉強すること!) ですが、もし間違いがあったら、メールで指摘してください。