....... (1)第二章. 力学における最小化問題--- 変分原理---
人間には、過去の記憶はありますが、未来に起きることを知ることができません。10分前のことは良く覚えていても、10分後に何が起こるかなんて、想像もつきません。現実はそうなのですが、それでも「もしも未来が予測できたら」なんて考えてみたくなりますよね。そういう「もしも」はＳＦ小説の中でよく取り上げられます。例えばSF小説の巨匠であるディックはその「もしも」を短篇小説「ゴールデンマン」のなかで実現して見せました。主人公のクリスは、未来を予知する能力を備えた人間の変種（ミュータント）であり、その能力ゆえに国家機構から追われる身となります。彼には、自分の行動によってひきおこされるあらゆる可能な未来を見ることができ、その中から自分にとってもっとも適した未来を選ぶことができます。
ディックの小説に書かれていることをそのまま我々に当てはめると、とても不思議な気分になります。例えば皆さんに気になる異性がいたとしましょう。その異性に明日何を言うか、あるいは行動するかによって、未来は当然変わってきます。それこそありとあらゆる可能性があります。相手にされない可能性あり、つき合い出してふられる可能性あり、もしかして結婚するかも？これらのあらゆる可能性をすべて調べてみて、一番いい選択ができたとしたら、どんなに素晴らしいでしょう。「もしそれができたら、あの時の失敗は無かったのに」なんていうこといくつかあるんじゃないでしょうか。
しかしそれはSFの世界の話で、全くの夢物語です---と言い切ってしまうのはまだ早いです。実は、今述べたような方法で自分の未来を決定しているものがこの世に存在します。一つは前の章お話した「光」です。もう一つはもっともっと身近に存在します。それをこれからお見せしてみたいと思います。
重力のもとでの物体の運動を考えてみましょう。物体を時刻t=0に初速度v_0で鉛直上方へ投げ上げたとします。物体は図1のように初めのうちは、上向きに動きますが、だんだんと減速していってどこかで折り返し、その後は落下を始めます。図1のように鉛直上向きに座標xをとり、物体の位置を座標xで表わすことにしましょう。ただし物体の始めの位置をx=0とします。横軸をt 、縦軸をxとして物体の運動の様子をグラフで表わすことにすると、図1のようになります。実験を繰り返して物体の運動を解析すると、時刻tでの物体の位置は、
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というtの二次関数で書けることがわかります。（gは重力加速度）ここまでは、高校の物理の範囲内です。
さて、この問題を全く違う視点でとらえてみることにしましょう。物体は時刻t=0に位置x=0にあります。さらに物体が時刻t=t_1に位置x=x_1を通過したとしましょう。このとき、物体はx-tグラフ上で二点O(0,0), A(x_1,t_1) を通らなくてはいけません。ところで、この二点O, A を通るような曲線x(t)はいろいろあります。頭のなかでは図2のように、二点O , Aの間をさまざまな形の曲線でつなぐことができます。しかし実際におこる物体の運動を表わす曲線は、もちろんただ一つ（式(1)で表される運動）です。では、実際に時刻tでの物体の位置x(t)のグラフの形はどうやって決まるのでしょうか。
ここまでくると、物体の運動の決定（つまり、位置x(t)の決定）が、先月解説した光の経路の決定と、とても似ていることが分かるでしょう。光の場合は、可能なあらゆる経路のうちで到達時間を最小にするような経路を選びました。物体の運動も、あらゆる可能なグラフx(t)のうち何かを最小にするような曲線を選んでいるんでしょうか？。
この問いに対する答えは、19世紀の物理学者ハミルトンによって次のように与えられました。
ハミルトンの原理：物体は、あらゆる可能な運動x(t)のうちで、積分量
を最小にするように運動する。
ここでmは物体の質量、v=dx/dtは物体の速度です。急に積分が出てきたので、引いてしまうかもしれませんが、大体の感じをつかむだけなら、誰にでもできます。
まず、物体の運動x(t)が決まれば、積分量Sはただ一つに決まることに注意しましょう。逆にx(t) のグラフの形を変化させれば積分量Sの値もどんどん変化します。変化します。（これはちょうど、経路の長さは経路の形が決まるとただ1つに決まり、経路の形を変えていくと経路の長さが変化することと、とてもよく似ています。）
次に、被積分関数が、運動エネルギーと位置エネルギーの差の形をしていることに注意しましょう。積分量Sを最小にするには、できるだけ運動エネルギーを小さく、位置エネルギーを大きくしなくてはいけません。
これだけ指摘しておいて、実際の物体の放物運動がハミルトンの原理からどのように説明されるかを説明してみましょう。図3を見てください。まずx-t グラフ上の二点O(0,0) とA(t_1,x_1)を結ぶ線分OA を考えて見ましょう。とりあえず頭のなかでは、このような経路を考えることができるし、経路を決めたので積分量S も計算できます。しかしこの経路は積分量Sを最小にしません。なぜなら、図3のようにちょっと経路を上にずらして経路Pとすれば、その分位置エネルギーを大きくすることができるからです。そうすれば、式(2)の積分の第2項が大きくなって、積分量S の値を小さくできます。
しかしどんどん上にずらせばよいというものではありません。例えば経路Qのように極端に経路を上にずらすと曲線x(t) の傾きdx/dt の大きさが、かなり大きくなります。この傾きが物体の速度v にあたりますから、それによって運動エネルギーmv^2/2 が大きくなります。すると積分の第1項が大きくなって、積分量S も大きくなってしまいます。「過ぎたるは及ばざるがごとし」なのです。
さてこのように考えていくと、うまく位置エネルギーを大きく、かつ運動エネルギーがそれほど大きくならないようにして、積分量S を最小にする経路x(t) が存在しそうですよね。まさにそのS を最小にする経路x(t) が実際に実現される経路なのです！
ハミルトンの原理が本当に正しく物体の運動を記述するかどうかを、確かめてみましょう。経路x(t) に対する積分量S の値をS[x(t)] と表わすことにします。（この書き方には「経路の形x(t) が決まるとS の値がただ一つに定まる」という気持ちがこめられています。）この積分量S を最小にするような経路を求めてみましょう。その求め方は変分法と呼ばれていて、皆さんはまだ一度も見たことがない全く新しい方法であります。
まず適当な経路x(t) をとります。次に経路を図4のようにx(t) からx(t)+h(t) とわずかにずらしてみましょう。ここでh(t) はt の関数で、経路の微小なずれを表わす関数です。ただし、経路の両端の座標O(0,0)、A(t_1,x_1) はずらしてはいけないので、
h(0) = h(t_1) = 0 … (3)
が成り立つ必要があります。ここで、経路をx(t)からx(t) + h(t) に変化させたときのS の値の変化を考えてみます。
最後の変形では経路のずれh(t) は十分小さいとして、(dh/dt)^2 の項は、無視しました。積分の第１項は、部分積分によってさらに変形することができます。
右辺の第１項は、h(0)=h(t_1)=0 より消えてしまいます。よって式(4)は結局、
変形されます。
この式の意味を考えて見ましょう。今、経路x(t) から経路x(t)+h(t) にわずかにずらしたときに、S の値が減少したとしましょう。つまり、⊿S < 0だったとします。このときは、経路x(t) はS を最小にしていません。ずらした経路x(t)+h(t) の方が、S の値が小さいからです。
逆に経路x(t) から経路x(t)+h(t) にずらしたときにS の値が増加した（⊿S>0）としましょう。この場合も経路x(t) はS の値を最小にしていません。なぜなら、経路を逆の方向にずらせば、S の値は減少するからです。具体的には、経路x(t) に対して経路x(t)-h(t) を作ってやったほうがS の値が小さくなります。これを式の上で確かめるのは簡単です。経路のずれh(t) とS の値の変化⊿Sとの間には、式(5)の関係があります。ある経路のずれh(t)に対して、S が増加（⊿S>0）したとしましょう。式(5)の被積分関数は、h(t) に比例していますから、h(t) を-h(t) に置き換えると⊿S の符号はひっくりかえります。よって、経路のずれ-h(t) に対して⊿S < 0 となり、S の値は減少します。
以上のことから、経路x(t) が積分量S を最小にするためには任意の経路のずれh(t) にたいして⊿S >0 でも⊿S < 0 でもだめで、
が成立しなくてはならないことが、分かります。さらにどんなずれh(t) に対してもこの式が成り立つためには、このときh(t) の前にかかっている式は常に0 にならなければいけないことが証明できます。結局、
が成り立たないといけません。これは、まさしく運動方程式です！この式を2回積分して、初期条件（t=0 でx=0, v=v_0 ）を用いて積分定数を決めると、式(1)が導かれます。こうして、ハミルトンの原理は正しく現象を記述することがわかりました。（ここまでしてきた話に興味がある人は、「ファインマン物理学」第3巻（岩波書店）にもっと詳しい解説があるので見てみるといいでしょう。）
ちょっと身の回りの適当なものをとって投げてみて下さい。放物線を描いて運動しますよね。実際に起こる物体の運動は、あなたが見た運動ただ一つです。ここでちょっと想像してみて下さい。物体は投げ出された瞬間から着地するまで、あらゆる運動の可能性があります。なかにはとんでもない（超常現象のような）運動だって含まれています。投げ出した瞬間には物体には無数の未来があるわけです。ところが実際に起こる未来ただ一つで、ここまで説明してきたハミルトンの原理に従えば、その運動は積分量S を最小にしています。ですからこんな見方が可能です。「物体は未来のあらゆる可能な運動を試してみて、その一つ一つの未来に対して積分量S の値を計算し、そのなかからS を最小にするやつを選び出して未来を決定している！」冒頭でお話したディックの小説での話と似た現象が身の回りでも起こっているのです。
物体が本当に可能な未来をすべて試してみているのか、本当のところは良くわかりません。そこは人の見方によりけりでしょう。でもこんな考え方で物体の運動が説明できてしまうところがとても魅力的だと思いませんか？ハミルトンのまえにこの原理の原型を発見したモーペルテュイは、この原理に基づいて、神の存在を証明しようとしました。それはやりすぎでしたが、気持ちはわからないでもないですよね。
この考え方は、力学に限らずいろいろな分野で応用されていています。その一つが経済学です。経済現象もさまざまな可能な未来の中で何かが最小（あるいは最大）になるような未来が選ばれる、と思うわけです。それは、企業にとっては「利益」であり、家計にとっては「支出」であり、個人にとっては支出に対する「効能（満足度）」であります。それぞれがそれぞれの量を最大化あるいは最小化して経済は変化していっていると、現在の経済学では信じられています。（どこまで本当かは別として）
いままでしてきた話を、人間の行動原理に当てはめるととても興味深くなります。我々人間の行動は、何かを最大にするように行動しているのかも知れません。では、何を最大にするために生きているんでしょうか？個人の幸せでしょうか。それとも、子孫の数でしょうか。私にはよくわかりません。現実の世界をみると、少なくとも「全世界の人間すべての幸せを最大するために我々一人一人は生きている」とは言いがたいようです。人々は自らのエゴに強く縛られているようです。でも将来はどのようになるかは、わかりません。皆さんは、先入観なしに物事を見つづけてください。
